¿Si contrato otro servicio de hospedaje, mi página web se pasa en automático?

No, tu web no se traspasa automáticamente al otro proveedor.

Necesitas hacer una migración y para eso te voy a recomendar este video: Cómo migra un sitio web paso a paso

Ver respuesta completa y más recomendaciones en la grabación de la sesión de preguntas y respuestas del 16 de octubre del 2021. Minuto: 23:33